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Kurz gesagt: Der Dreisatz berechnet aus drei bekannten Werten den vierten. Man rechnet in zwei Schritten: erst auf eine Einheit herunter, dann auf die gesuchte Menge hoch. Entscheidend ist vorher die Frage, ob die Größen gerade oder umgekehrt zusammenhängen.
Der gerade Dreisatz
Mehr vom einen bedeutet mehr vom anderen.
Beispiel: 4 Brötchen kosten 2,40 Euro. Was kosten 7?
- Auf eins: 2,40 ÷ 4 = 0,60 Euro je Brötchen
- Auf sieben: 0,60 × 7 = 4,20 Euro
Der umgekehrte Dreisatz
Mehr vom einen bedeutet weniger vom anderen.
Beispiel: 3 Arbeiter brauchen 8 Stunden. Wie lange brauchen 4?
- Gesamtarbeit: 3 × 8 = 24 Arbeitsstunden
- Auf vier verteilt: 24 ÷ 4 = 6 Stunden
Beim geraden Dreisatz wird beim Schritt auf die Eins geteilt, beim umgekehrten multipliziert. Wer das vertauscht, bekommt ein Ergebnis, das in die falsche Richtung zeigt.
Die Prüffrage vorab
Bevor gerechnet wird, stellt man eine Frage: Wenn das eine größer wird — wird das andere dann größer oder kleiner?
Größer heißt gerader Dreisatz. Kleiner heißt umgekehrter.
Nach der Rechnung folgt die zweite Prüfung: Passt die Größenordnung? Wenn sieben Brötchen weniger kosten als vier, stimmt etwas nicht.
Wo der Dreisatz im Alltag steckt
- Preise vergleichen und auf Grundmengen umrechnen
- Rezepte auf andere Personenzahlen umrechnen
- Prozentrechnung — sie ist ein Dreisatz mit der Bezugsgröße 100
- Währungen umrechnen
- Maßstab auf Karten und Bauplänen
- Verbrauch auf 100 Kilometer
Wo er nicht gilt
Der Dreisatz setzt ein festes Verhältnis voraus. Bei Staffelpreisen, Steuerprogression oder Zinseszins gilt es nicht — dort führt er zu falschen Ergebnissen.
Auch das Arbeiterbeispiel hat eine Grenze: Zehn Maler streichen eine Wand nicht in einem Zehntel der Zeit.
Die drei Schritte
Der Dreisatz besteht aus drei Zeilen: Zuerst wird die bekannte Beziehung notiert, dann auf eine Einheit heruntergerechnet, zuletzt auf die gesuchte Menge hochgerechnet. Daher der Name. Der mittlere Schritt heißt Schluss auf die Einheit.
Beispiel: Fünf Brötchen kosten zwei Euro, gesucht ist der Preis für acht. Ein Brötchen kostet zwei geteilt durch fünf, also vierzig Cent. Acht Brötchen kosten entsprechend drei Euro zwanzig.
Wichtig ist, die Einheiten mitzuschreiben. Damit fällt sofort auf, wenn eine Rechnung nicht aufgeht. Diese Gewohnheit verhindert die meisten Fehler.
Proportional und antiproportional
Beim proportionalen Dreisatz wachsen beide Größen gemeinsam: Mehr Brötchen kosten mehr Geld. Beim antiproportionalen verhält es sich umgekehrt: Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit. Die Rechenschritte unterscheiden sich entsprechend.
Beim antiproportionalen Fall wird beim Schluss auf die Einheit multipliziert statt geteilt und danach geteilt statt multipliziert. Wer das verwechselt, erhält ein Ergebnis, das offensichtlich falsch ist. Ein Blick auf die Größenordnung deckt das auf.
Die Frage, welcher Fall vorliegt, entscheidet man vor dem Rechnen: Wird das Ergebnis größer oder kleiner, wenn die andere Größe wächst? Diese Überlegung dauert Sekunden. Sie ist der eigentliche Kern der Aufgabe.
Wo der Dreisatz im Alltag hilft
Verbreitet ist er beim Umrechnen von Rezepten auf andere Personenzahlen, beim Vergleich von Grundpreisen, bei Währungsumrechnungen und beim Berechnen von Verbräuchen. Auch Prozentrechnung lässt sich als Dreisatz darstellen. Dort entspricht der Grundwert der hundert Prozent.
Im Handwerk dient er zum Hochrechnen von Materialmengen, in der Pflege zum Berechnen von Dosierungen. In beiden Bereichen wird er ausdrücklich gelehrt. Fehler haben dort ernste Folgen.
Beim Einkauf hilft er beim Vergleich unterschiedlicher Packungsgrößen. Der Grundpreis je Kilogramm steht in Deutschland allerdings ohnehin am Regal. Diese Angabe ist gesetzlich vorgeschrieben.
Wo die Methode versagt
Der Dreisatz setzt voraus, dass die Beziehung tatsächlich proportional ist. Bei Staffelpreisen, Mengenrabatten und Grundgebühren ist das nicht der Fall. Dort führt er zu falschen Ergebnissen.
Ebenso wenig funktioniert er bei nicht linearen Zusammenhängen, etwa beim Luftwiderstand oder bei Zinseszinsen. Diese wachsen überproportional. Für sie gibt es eigene Formeln.
Deshalb lohnt vor dem Rechnen die Frage, ob doppelt so viel wirklich doppelt so teuer ist. Fällt die Antwort nein aus, ist der Dreisatz das falsche Werkzeug. Diese Prüfung ist der wichtigste Schritt.
Wie man das Ergebnis prüft
Vor dem Rechnen lohnt eine Schätzung: Muss das Ergebnis größer oder kleiner sein als der Ausgangswert? Weicht das Rechenergebnis davon ab, liegt ein Fehler vor. Diese Kontrolle dauert Sekunden.
Hilfreich ist außerdem, die Einheiten durchzurechnen. Ergibt sich am Ende eine sinnlose Einheit, stimmt die Rechnung nicht. Fachleute nennen das Einheitenkontrolle.
Bei mehreren Größen empfiehlt sich der zusammengesetzte Dreisatz, bei dem schrittweise vorgegangen wird. Jeder Schritt betrifft nur eine Größe. Damit bleibt die Rechnung überschaubar.
Wie er in der Schule eingeführt wird
Behandelt wird der Dreisatz meist in der sechsten und siebten Klasse, aufbauend auf dem Bruchrechnen. Zuerst kommt der proportionale Fall, danach der antiproportionale. Diese Reihenfolge steht in allen Lehrplänen.
Geübt wird an Sachaufgaben aus dem Alltag, weil der Übertrag sonst ausbleibt. Genau daran scheitern viele Übungshefte. Eigene Beispiele wirken besser.
Später wird der Dreisatz durch die Verhältnisgleichung ersetzt, die dasselbe leistet. Beide Wege führen zum selben Ergebnis. Der Dreisatz bleibt der anschaulichere.
Wo man weiterliest
Verlässlich sind Quellen, die ihre Angaben belegen, datieren und Fehler sichtbar korrigieren. Dazu zählen Fachgesellschaften, Behörden, Hochschulen und Archive etablierter Medien. Der Zugriff ist meist kostenfrei.
Automatisch erzeugte Seiten erkennt man an fehlenden Quellen und gleichförmigem Aufbau. Wer eine Angabe zurückverfolgt, findet dort meist nichts. Ein Vergleich mehrerer Quellen deckt Widersprüche schnell auf.
Häufige Fragen
Woran erkennt man den umgekehrten Dreisatz?
Mehr vom einen führt zu weniger vom anderen.
Warum rechnet man über die Eins?
Weil sich von dort jede Menge berechnen lässt.
Ist Prozentrechnung ein Dreisatz?
Ja, mit der Bezugsgröße 100.
Wann gilt der Dreisatz nicht?
Bei Staffelpreisen, Zinseszins und Steuerprogression.
